CAMPEONES Y PRINCESAS: SINTESIS DEL III PERIODO AREA MATEMÁTICAS

FRACCIONES

Las fracciones representan partes de una unidad. Constan de dos términos:

Numerador, que indica las partes iguales que se toman de la unidad.

Vínculo: Es la línea que divide la fracción

Denominador, que indica las partes iguales en que se divide la unidad.

Numerador 2

Denominador 4

REPRESENTACIÓN DE FRACCIONES


	$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\0015f921.bmp$

Podemos representar una fracción, por ejemplo, mediante un círculo, un rectángulo o un cuadrado: dividimos la figura en tantas partes iguales como indique el denominador y sombreamos tantas partes como indique el numerador.

$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\0015f923.bmp$ Por ejemplo:

¿CÓMO SE LEEN LAS FRACCIONES?

Para leer una fracción primero se nombra el numerador y después el denominador, de la siguiente forma:

$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\0015f925.bmp$ 1. El numerador se nombra tal cual.

2. Si el denominador es 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 o 10, se lee, respectivamente: medios, tercios, cuartos, quintos, sextos, séptimos, octavos, novenos o décimos.

Si es un número mayor que 10, se lee el número terminado en avo,

Ejemplo: 11, onceavos; 12, doceavos; 90, noventavos (ten en cuenta que, si el nombre del número del denominador termina en a, se elimina esta letra). Veamos:

¿CÓMO INTERPRETAMOS UNA FRACCIÓN?

Podemos interpretar una fracción de tres maneras, como parte de la unidad, como cociente o como operador:

Como parte de la unidad: una fracción representa un valor (dado por el numerador) con respecto a un “total” (dado por el denominador) que llamamos “unidad” (no lo confundas con el número 1). Por ejemplo, si nos hemos comido 3/5 de una pizza, eso supone que del total, que son las cinco partes en que la hemos dividido, hemos tomado tres. Así pues, esta fracción representa “a tres de cada cinco”.

Como cociente: una fracción representa el cociente entre dos números, el numerador y el denominador. Por ejemplo, la fracción 3/6 representa el cociente de tres entre seis, es decir, el resultado de dividir 3 entre 6, que es 0,5.


	$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\00160bdd.bmp$

Como operador: una fracción actúa sobre cualquier número como si fuera un operador que actúa sobre el número multiplicándolo por el numerador, y dividiéndolo por el denominador. Por ejemplo, si queremos hallar las tres quintas partes de diez caramelos, haríamos:

CLASES DE FRACCIONES

Hay dos clases o tipos de fracciones:

Las fracciones propias: son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador (su cociente es un número menor que la unidad); por ejemplo:

$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\0015f927.bmp$

Las fracciones impropias: son aquellas en las que el numerador es igual o mayor que el denominador (su cociente es un número igual o mayor que la unidad); por ejemplo:

$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\0015f929.bmp$

$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\0015f92b.bmp$ Cualquier número natural se puede escribir en forma de fracción impropia, dividiéndolo entre la unidad; por ejemplo:

FRACCIONES EQUIVALENTES

Las fracciones representan partes de una unidad. Dos fracciones que representan la misma parte se llaman equivalentes.

$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\00160c2b.bmp$

Ejemplo: al representar las fracciones observamos que la superficie coloreada en ambos dibujos es la misma.

Ocupan, por tanto, la misma porción del círculo que representa la unidad: son dos fracciones equivalentes.

Para saber si dos fracciones son o no equivalentes, no es necesario representarlas, basta con multiplicarlas “en cruz”: el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda; si estos productos son iguales, las fracciones son equivalentes:

$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\00160c2d.bmp$

$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\00160c2f.bmp$

$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\00160c31.bmp$

¿CÓMO HALLAMOS FRACCIONES EQUIVALENTES A UNA DADA?

Podemos obtener fracciones equivalentes a otra, de dos maneras: por amplificación y por simplificación.

v Por amplificación: multiplicando el numerador y el denominador de la fracción por un mismo número.

Ejemplos:


	$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\00160c33.bmp$

$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\00160c35.bmp$

v Por simplificación: dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número.

Ejemplos:

$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\00160c37.bmp$

$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\00160c39.bmp$

Para practicar, puedes obtener fracciones equivalentes a las fracciones de la tabla siguiente, de ambas formas.


	$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\00160c3d.bmp$

FRACCIÓN IRREDUCIBLE

Se llama fracción irreducible a aquella que no se puede simplificar más.

Ejemplo:

Vamos a simplificar la fracción 60/420 hasta obtener su fracción irreducible; para simplificar, dividimos numerador y denominador por el mismo número:

1.º) dividimos entre 2; 2.º) dividimos entre 2; 3.º) dividimos entre 3; 4.º) dividimos entre 5.


	$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\00160c41.bmp$

La fracción irreducible es 1/7 ya que no la podemos seguir simplificando más: no existe ningún número común por el que podamos dividir a la vez a 1 y a 7.

Normalmente, cuando hacemos operaciones con fracciones y el resultado es otra fracción, hemos de simplificarla hasta obtener su fracción irreducible.

Si quieres, puedes practicar simplificando las siguientes fracciones hasta obtener su fracción irreducible:

$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\00160c45.bmp$

COMPARACIÓN DE FRACCIONES

Cuando tengamos que comparar dos o más fracciones se nos dará una de estas tres situaciones: que tengan el mismo denominador, que tengan el mismo numerador o que tengan distintos numerador y denominador.

v Si tienen el mismo denominador: Es menor la que tenga el menor numerador:

Ejemplo:

$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\00160c47.bmp$ $Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\00160c49.bmp$

v Si tienen el mismo numerador. Es menor la que tenga el mayor denominador:


	$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\00160c4b.bmp$

Ejemplo:


	$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\00160c4d.bmp$

v Si tienen distintos numerador y denominador


	$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\00160c4f.bmp$

Ejemplo:

Para poderlas comparar hemos de reducirlas primero a común denominador.

Para ello, hallamos el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores, que en este caso será: m.c.m. (5, 2, 4, 3) = 4 × 3 × 5 = 60

Y hallamos las fracciones equivalentes a las anteriores, pero con el denominador común:

$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\00160c51.bmp$


	$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\00160c57.bmp$

Y ahora, al tener el mismo denominador, ya sí que las podemos comparar: Por tanto:

$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\00160c55.bmp$

NÚMEROS MIXTOS

Si en una fracción impropia dividimos el numerador entre el denominador, puede ocurrir una de estas dos cosas:

1. Que obtengamos un número natural.

Ejemplo:


	$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\00160be1.bmp$

2. Que obtengamos un número mixto, que se llama así porque está compuesto de un número natural y de una fracción.

Ejemplo:

En la fracción 15/7 al dividir el numerador entre el denominador obtenemos:


	$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\0015f91b.bmp$

Y la fracción la podemos expresar así, como un número mixto:

$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\0015f90f.bmp$


	$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\0015f915.bmp$

ADICION Y SUSTRACCION DE FRACCIONES

Para sumar o restar dos o más fracciones, nos fijamos primero en sus denominadores: si son iguales o distintos.

FRACCIONES HOMOGÉNEAS

En este caso, se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador. Por ejemplo

$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\0015f993.bmp$ $Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\0015f963.bmp$


	$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\0015f97d.bmp$		$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\0015f9ab.bmp$

FRACCIONES HETEROGÉNEAS

En este caso, primero hemos de reducir a común denominador, y después sumar o restar las fracciones.

Para reducir dos fracciones a común denominador, podemos proceder de dos maneras:

v Por el método de los productos cruzados o por el método del mínimo común múltiplo.

v Por el método de los productos cruzados: se multiplican los dos términos de cada fracción por el denominador de la otra. Por ejemplo:

Por el método del mínimo común múltiplo, seguimos estos dos pasos:

1.º Se halla el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores, que es el menor de sus múltiplos comunes; en nuestro caso el m.c.m. (7, 3) = 21.


	$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\0015f9bf.bmp$

2.º Se divide ese mínimo común múltiplo entre cada denominador y el cociente se multiplica por cada numerador


	$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\0015f9c3.bmp$		$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\0015f9c5.bmp$

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES

El producto de dos o más fracciones es otra fracción, que tiene como numerador el producto de los numeradores y como denominador el producto de los denominadores. Por ejemplo:


	$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\0015f9a5.bmp$


	$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\0015f9a7.bmp$

Para multiplicar un número entero por una fracción podemos considerar que el número entero es una fracción de denominador igual a 1. Así, por ejemplo:

El cociente de dos fracciones es otra fracción que se obtiene multiplicando en cruz los términos de las dos fracciones. Es decir, se multiplica:

1.º El numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda (ese será el numerador de la fracción cociente).

2.º El denominador de la primera por el numerador de la segunda (ese será el denominador de la fracción cociente resultante).Por ejemplo:


	$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\0015f9a9.bmp$

Para dividir un número entero por una fracción podemos considerar que el número entero es una fracción de denominador igual a 1. Por ejemplo:


	$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\0015f9ad.bmp$


	$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\0015f9af.bmp$

Practica el producto el cociente de dos o más fracciones con los siguientes ejemplos:

OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES.

Cuando vamos a resolver operaciones combinadas se lleva a cabo el siguiente procedimiento:

v Se resuelven primero los paréntesis

v Luego se resuelven en orden las operaciones.

2/5 x 10/3 + 2 2/3 x 1/4

4/3 + 2/3

6/3 = 2

( 52/3 + 4/7) x ( 3/2 + 2/7)

(17/3 + 4/7) x (3/2 + 2/7)

131/21 x 25/14 = 3.275 / 294

Unidades de longitud

Cuando vas a medir cualquier longitud, el largo o ancho de un objeto sea cual sea el tamaño necesitas un implemento específico.

En cualquier caso, El metro se considera la unidad principal de longitud; su símbolo es: m.

LOS MÚLTIPLOS DEL METRO

Para medir longitudes grandes, utilizamos unidades mayores que el metro, como el kilómetro, el hectómetro y el decámetro; son sus múltiplos:

$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\0015e321.bmp$ Para bajar un escalón hay que multiplicar por 10 la unidad que está en el escalón superior. En cambio para subirlo hay que dividir entre 10 la unidad del escalón inferior.

Para bajar tres unidades (tres escalones de golpe) habrá que multiplicar por 1.000: 1 km = 1 × 1.000 m = 1.000 m

Para subir tres unidades (tres escalones de golpe) habrá que dividir entre 1.000: 1 m = 1 : 1.000 km = 0,001 km

LOS SUBMÚLTIPLOS DEL METRO

$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\0015e329.bmp$ Para medir longitudes pequeñas, utilizamos unidades menores que el metro, como el decímetro, el centímetro y el milímetro; son sus submúltiplos:

Para bajar un escalón hay que multiplicar por 10 la unidad que está en el escalón superior. En cambio para subirlo hay que dividir entre 10 la unidad del escalón inferior.

Para bajar tres unidades (tres escalones de golpe) habrá que multiplicar por 1.000: 1 m = 1 × 1.000 mm = 1.000 mm

Para subir tres unidades (tres escalones de golpe) habrá que dividir entre 1.000: 1 mm = 1: 1.000 m = 0,001 m

$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\0015e323.bmp$ Practiquemos los cambios de unidades entre submúltiplos del metro con los ejemplos.

1. Convierte a metros las longitudes siguientes: 156 cm; 29 dm; 357 mm.

$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\0015e32d.bmp$

2. Convierte a milímetros las longitudes siguientes: 5 dm; 14 m; 7,8 cm.

$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\0015e32f.bmp$

LOS MÚLTIPLOS DEL METRO CUADRADO

Para medir superficies grandes usamos los múltiplos del metro cuadrado: el kilómetro cuadrado, el hectómetro cuadrado y el decámetro cuadrado.

$Descripción: C:\Documents and Settings\user\Configuración local\Archivos temporales de Internet\0015e2f5.bmp$ Para bajar un escalón hay que multiplicar por 100 la unidad que ocupa el escalón superior. En cambio para subirlo hay que dividir entre 100 la unidad del escalón inferior.

Para bajar tres unidades (tres escalones de golpe) habrá que multiplicar por 100 × 100 × 100 = 1.000.000: 1 km² = 1 × 1.000.000 m² = 1.000.000 m²

Para subir tres unidades (tres escalones de golpe) habrá que dividir entre 1.000.000: 1 m² = 1 : 1.000.000 km² = 0,000 001 km²

PERÍMETRO DE UN POLÍGONO

El perímetro de cualquier polígono es igual a la suma de las longitudes de sus lados.

Por ejemplo, vamos a calcular el perímetro, P, de cada uno de los polígonos de las dos figuras siguientes.

$Descripción: C:\Users\FAMILIA\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\0015e277.bmp$

Para el polígono de cuatro lados iguales cuyo lado mide 3 cm:

P = 3 + 3 + 3 + 3 = 3 × 4 = 12 cm

Para el polígono de cinco lados iguales cuyo lado mide 2 cm:

P = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 × 5 = 10 cm

$Descripción: C:\Users\FAMILIA\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\0015e279.bmp$

Para el polígono cuyos lados, iguales dos a dos, miden 2 y 4 cm:

P = 2 + 4 + 2 + 4 = 2 × 2 + 4 × 2 = 12 cm

Para el polígono de cuatro lados iguales cuyo lado mide 2 cm:

P = 2 + 2 + 2 + 2 = 2 × 4 = 8 cm

ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR

En cualquier polígono regular podemos dibujar tantos triángulos en su interior como lados tenga el polígono. Todos los triángulos dibujados tienen un vértice común que es el centro del polígono.

El área de cada uno de esos triángulos será: